雙十字軸萬向節(jié)傳動的角速度計算推導雙十字軸萬向節(jié)傳動軸承的運動機構(gòu)簡圖如圖1所示。輸入軸L1與中間軸L2的夾角為α( 0°≤α≤90°) ，中間軸L2與輸出軸L3的夾角為β ( 0°≤β≤90°) ; 輸入軸轉(zhuǎn)速為ω1，中間軸轉(zhuǎn)速為ω2，輸出軸轉(zhuǎn)速為ω3; 輸入軸節(jié)叉平面Ⅰ與L1O1L2平面之間的瞬時夾角為θ1( 即輸入角) ; 輸出軸節(jié)叉平面Ⅳ與L2O2L3平面之間的瞬時夾角為θ3( 即輸出角) 。平面L1O1L2與L2O2L3之間的夾角為傳動夾角γ ( － 90°≤γ≤90°) ，中間軸兩端節(jié)叉所在平面Ⅱ和Ⅲ之間的夾角為相位角ψ( － 90°≤ψ≤90°) 。為方便分析，令平面Ⅰ與L1O1L2平面處于圖1 所示的垂直狀態(tài)時( 即DO1⊥L1O1L2) ，為整個雙十字軸萬向節(jié)傳動軸運動分析起始點θ1 = 0°，傳動軸逆時針方向旋轉(zhuǎn)時θ1為正且增大。

  1． 1 輸入軸與中間軸萬向節(jié)運動分析取垂直于中間軸L2的平面為投影面，則中間軸節(jié)叉C 的運動軌跡為圓，輸入軸節(jié)叉D 的運動軌跡為橢圓。為分析節(jié)叉C、D 組成的十字軸萬向節(jié)的運動，建立如圖2 中所示的坐標系，令輸入軸的角度增量為Δθ1，中間軸的角度增量為Δθ2 '，由投影幾何關(guān)系可得到tan Δθ1tan Δθ2 ' = D2Q/O1QD1Q/O1Q = D2QD1Q = O1D2 'O1D1 ' = 1cos α( 1)tan Δθ2 ' = tan Δθ1·cos α ( 2)圖1 雙十字軸萬向節(jié)傳動軸的運動機構(gòu)簡圖圖2 輸入軸與中間軸萬向節(jié)的運動分析圖整個運動系統(tǒng)的旋轉(zhuǎn)角度起始點為O1D0，則輸入軸節(jié)叉的轉(zhuǎn)動角度為θ1 = Δθ1( 3)中間軸節(jié)叉C 與O1D0的夾角為θ2 ' = Δθ2 ' + 90° = arctan( tan θ1·cos α) + 90° ( 4)對于確定的轉(zhuǎn)向傳動軸系，α 角不變，把式( 4) 兩邊對t 求導，整理后可得dθ2 'dt = cos α1 － sin2α·sin2θ1·dθ1dt( 5)因此，對于輸入軸與中間軸萬向節(jié)而言，中間軸L2與輸入軸L1之間的旋轉(zhuǎn)角速度之比為ω2 'ω1= cos α1 － sin2α·sin2θ1( 6)。
  1． 2 中間軸與輸出軸萬向節(jié)運動分析再取垂直于中間軸L2的平面為投影面，則中間軸節(jié)叉E 的運動軌跡為圓，輸出軸節(jié)叉F 的運動軌跡為橢圓。為分析節(jié)叉E、F 組成的十字軸萬向節(jié)的運動，建立如圖3 中所示的坐標系。令中間軸的角度增量為Δθ2 ″，輸出軸的角度增量為Δθ3，由投影幾何關(guān)系可得到tan Δθ2 ″tan Δθ3= F1Q/OQF2Q/OQ = F1QF2Q = OF1 'OF2 ' = cos β ( 7tan Δθ3 = tan Δθ2 ″cos β( 8)上式可變換為Δθ3 = arctan tan Δθ2 ″cos β( 9)對于確定的轉(zhuǎn)向傳動軸系，β 角不變，把式( 9) 兩邊對t 求導，整理后可得dθ3dt = cos β1 － sin2β·cos2Δθ2 ″·dθ2 ″dt( 10)從圖3 中的坐標系和幾何關(guān)系可知θ2 ″ = 90 + Δθ2 ″ ( 11)傳動面夾角γ 的存在，相當于將中間軸節(jié)叉E 相對于節(jié)叉C 反方向旋轉(zhuǎn)相同的角度，與等速傳動條件相違背。而相位角ψ 的存在是為了減小傳動面夾角γ、α 與β 不相等造成的影響［7 － 10］�？紤]傳動面夾角γ和相位角ψ，則有θ2 ″ = θ2 ' － γ + ψ ( 12)圖3 中間軸與輸出軸萬向節(jié)的運動分析圖將式( 4) 、式( 11) 和式( 12) 代入式( 10) 得dθ3 dt = cos β1 － sin2β·cos2［arctan( tan θ1·cos α) － γ + ψ］dθ2 ″dt( 13)因此，中間軸與輸入軸之間的旋轉(zhuǎn)角速度之比為ω3ω2 ″ = cos β1 － sin2β·cos2［arctan( tan θ1·cos α) － γ + ψ］( 14)中間軸節(jié)叉C 和E 都固定在同一根軸上，ω2 ' =ω2 ″ = ω2，因此ω3ω1= cos α1 － sin2α·sin2θ1×cos β1 － sin2β·cos2［arctan( tan θ1·cos α) － γ + ψ］( 15)。

  1． 3 等速條件驗證將式( 11) 、式( 12) 、式( 4) 代入式( 9) 得Δθ3 = arctan tan[ arctan( tan θ1cos α) － γ + ψ]cos β( 16)由于轉(zhuǎn)向傳動軸旋轉(zhuǎn)角度起始點O1D0與O2F0重合，θ3 = Δθ3，則輸出軸轉(zhuǎn)角為θ3 = arctan tan arctan( tan θ1cos α) － γ + [ ψ]cos β( 17)根據(jù)上述提到的3 個等速傳動條件，將α = ± β，γ= 0，ψ = 0 代入式( 16) 可得到θ3 = arctan tan θ1 cos αcos β = θ1( 18)即雙十字軸萬向節(jié)傳動軸為等速傳動。由于式( 15) 比較復雜，難以直觀看出等速傳動條件下ω3與ω1之間的關(guān)系。本研究將γ = 0、ψ = 0 代入式( 15) ，令α 分別取0°、5°、10°、…、175°，且α = ± β。通過計算后均得到ω3 = ω1，即雙十字軸萬向節(jié)傳動軸為等速傳動，證明以上推導過程與結(jié)果是正確的。
  相位角對轉(zhuǎn)向傳動軸輸出轉(zhuǎn)速的影響分析根據(jù)上述推導過程，從式( 15) 可看出，對于具體的雙十字軸萬向節(jié)轉(zhuǎn)向傳動軸結(jié)構(gòu)，ω3 /ω1是輸入軸轉(zhuǎn)角θ1的函數(shù)，函數(shù)曲線周期為π。當γ、ψ 為零，θ1= nπ/2 ( n = 0，1，2，…，n) 時，ω3 /ω1取最值; 當γ、ψ取非零值時，ω3 /ω1函數(shù)曲線的最值和相位都會發(fā)生變化; 傳動面夾角γ 與相位角ψ 對ω3 /ω1的影響效果相當。

  對于普通乘用車而言，轉(zhuǎn)向傳動軸在駕駛艙內(nèi)的安裝空間受到很多限制，傳動角α、β 和傳動面夾角γ很難隨意改變，而相位角的改變比較容易。為分析傳動角α、β，傳動面夾角γ 取不同值時，相位角ψ 對ω3 /ω1影響，本研究采用具有代表性的結(jié)構(gòu)參數(shù)，對各種不同情況下的轉(zhuǎn)速比進行了定量分析。( 1) α = β，γ = 0，ψ 取0 ～ 180°圖4 相位角對輸出轉(zhuǎn)速比的影響規(guī)律( α = β = 15°，γ = 0)( 2) α = β，γ≠0，ψ 取0 ～ 180°( 3) α≠β，γ≠0，ψ 取0 ～ 180°從圖4 可以看出，傳動角α = β 時，若傳動面夾角γ = 0，則取相位角ψ = γ = 0 時可實現(xiàn)輸入軸與輸出軸之間的等轉(zhuǎn)速傳動; 從圖5 可以看出，傳動角α = β時，若傳動面夾角γ≠0，則取相位角ψ = γ 時可實現(xiàn)輸入軸與輸出軸之間的等轉(zhuǎn)速傳動; 從圖6 可以看出，傳動角α≠β 時，若傳動面夾角γ≠0，則取相位角ψ = γ 時，輸入軸與輸出軸之間的轉(zhuǎn)速差最小。圖5 相位角對輸出轉(zhuǎn)速比的影響規(guī)律( α = β = 15°，γ = 30°)

圖6 相位角對輸出轉(zhuǎn)速比的影響規(guī)律( α = 15°，β = 10°，γ = 30°)當兩個傳動角相等，且相位角等于傳動面夾角時，輸出軸與輸入軸之間能實現(xiàn)等速傳動; 兩個傳動角不相等時，雙十字軸萬向節(jié)傳動軸不能實現(xiàn)等速傳動，但是，當相位角等于傳動面夾角時，輸出軸與輸入軸之間的轉(zhuǎn)速差最小。因此，傳動軸相位角與傳動面夾角相等且方向相反時，為最佳相位角。